パワー法則は、異なるウォレット残高を持つアドレスを使用した場合でも現れます。これはスケール不変性のもう1つの特徴です。3つのアドレス階層が構築されました：

• シュリンプ = 総非ゼロ残高アドレス (完全なデータセット)
• クラブ = ≥1 BTCを保有するアドレス = (1–10 BTC) + (10–100 BTC)
• ドルフィン = ≥10 BTCを保有するアドレス = (10–100 BTC)のみ

________________________________________

パネル1 — N(t) vs時間、ログログ

各階層はlog₁₀(アドレス) vs log₁₀(t_日数)としてプロットされています。これらのログ変換値に対するOLS線形回帰により、各階層のパワー法則指数nが得られます。これは最適適合線の勾配です。破線はこれらの適合です。x軸のティックは読みやすくするようにカレンダー年に変換されています。

パネル2 — 一般化メトカルフェ、ログログ

各階層の価格対アドレス数（両方ともログ変換）。OLS回帰によりメトカルフェ指数αが得られます。これは価格がその階層のアドレス数とどの程度急速にスケーリングするかを示しています。より大きな保有者はより稀であり、追加するのが難しいため、彼らのαはより急勾配です。

パネル3 — 結合価格モデル、ログログ

重要な結果です。P ∝ N^αかつN ∝ t^nであるため、代入するとP ∝ t^(n·α)となります。したがって、各階層は独自のアドレスデータのみを使用して独立した価格対時間予測を生成します。直接的な価格適合は行われません。切片はic_combined = ic_Metcalfe + α × ic_timeです。3本すべての線は、ログログ軸上の実際の価格(白い線)に対してプロットされています。

階層 n (時間) α (メトカルフェ) n × α
シュリンプ 3.060 1.831 5.604
クラブ (≥1 BTC) 1.383 4.021 5.564
ドルフィン (≥10 BTC) 0.462 11.080 5.116

収束は、階層全体でnとαがトレードオフするため現れます。より達成が難しい階層(より大きな保有者)を使用すると、nは低下します(これらのアドレスはより遅く成長します)が、αは上昇します(価格は追加の各クジラにより敏感です)。積n·αは3つすべての階層全体で約5.5～5.6で一定に保たれます。これは直接価格適合から得られた全体的なビットコインパワー法則指数でもあります。これが一般化メトカルフェ定理です。価格指数は、採用プロキシとして使用するアドレス階層に対して不変です。