分散化取引オペレーターの線形および非線形特性についての詳細な議論

分散化取引所(DEX)を開発する際の核心的なタスクは、取引オペレーターを設計することです。このオペレーターは線形であっても、非線形であっても構いません。同様に、金利オペレーターを設計する際にも、本質的には取引オペレーターを設計していることになりますが、線形と非線形の違いが存在します。しかし、この違いはほとんどの人にとって理解しにくいかもしれません。

線形取引算子の特徴は、均衡価格を用いて取引を行い、資産ポートフォリオはこの価格の下で単純な線形変換を行うことです。線形算子を使用する理由は、無裁定仮説を受け入れたからです。この場合、合理的な金融取引はすべて線形であるべきです。非線形の結果が生じると、得られた資産ポートフォリオには裁定機会が存在するか、価格付けができない可能性があります。原則として、オラクルを使用した取引モデルは線形取引算子を採用すべきであり、そうしないと裁定される可能性があります。別の観点から見ると、完全市場と価格付けが有効な場合、線形取引算子だけが無裁定を実現できるのです。

しかし、線形演算子にも限界があります。それは任意の取引プールが平等であり、この演算子がトークン化を実現できないことを意味します。これは、線形演算子がコピーされると完全に同じになり、チェーン上で独自の価値を捉えることができないためです。想像してみてください。すべてのチェーン上の資産が特定の均衡価格を受け入れるとき、これらの資産がどの契約でも取引されることは等価です。したがって、どんな取引契約や演算子も追加の価値を捉え、トークン化を実現することは困難です。

対照的に、非線形取引オペレーターは、価格設定、取引、価値の沈殿（トークン化）の3つの目標を同時に達成しようとします。非線形オペレーターの設計はよりオープンであり、理論的にはスケールに関連する自己強化特性として設計可能であるため、価値を沈殿させることができます。しかし、このアプローチは、いくつかの課題にも直面しています。

1. 市場が徐々に整備されると、非線形取引オペレーターは本質的に極めて小さな取引規模で線形オペレーターをフィットさせることになります。
2. 市場が不完全な場合、非線形取引オペレーターの設計コストと効率は十分に優れているか？
3. 非線形演算子の価値入力は誰が提供するのか？この価値入力は線形取引演算子の競争の下で徐々に失われるのか？

多くの既存の自動マーケットメイカー(AMM)は、固定積の取引モデル（例えばXY=K）を採用しており、これは典型的な規模に関連する非線形取引演算子です。マーケットメイカーのプールが十分に大きい場合にのみ、局所的に線形取引をシミュレートすることができます。しかし、AMMの取引対象が完全市場である場合、その核心的な意味は規模効果後のフィッティングの有効性にのみあり、この有効性は本質的ではありません。

一般的な誤解は、価格設定の権限をチェーン上に置くことを望むことです。しかし、市場が完備されているとき（供給と需要が非常に巨大で、市場を操作することが難しい）、中央集権的な取引所の利点は非常に明らかです。チェーン上の各行動はオークション後の産物であり、これは価格設定取引サービスの需要との間に巨大なギャップがあります。価格設定取引は極限的な活動であり、一般的な中央集権的な取引所でさえ計算、ストレージ、通信に対して最高の要求を課しています。ましてやチェーン上の離散性やオークション属性については言うまでもありません。

不完全な市場（例えば、テール資産や新プロジェクト）において、主なニーズは迅速かつ低コストで価格を形成し、大量の取引を完了することです。主な制約条件は、迅速に価格を形成するコストと、大規模な取引を完了するコストです。ここでのコストは、マーケティングやトラフィックコストを指すのではなく、取引オペレーター内での生成コストを指します。

非線形取引オペレーターは価格設定と取引を同時に処理し、予言機（価格オペレーター）の線形取引モデルとの競争にも直面する。この競争において、取引効率の面では、予言機下の線形取引オペレーターが非線形取引オペレーターを遥かに上回る。

非線形取引オペレーターは、価値の入力という問題にも直面しています。完全市場では、非線形オペレーターが均衡価格の変動時に発生するアービトラージ損失を補うために、価値を入力するために大量の小口取引が必要です。この条件は非常に厳しく、チェーン上の取引の限界コストの増加が大量の小口需要を排除する可能性があります。高度に不完全な市場では、価格スリッページを気にしないトレーダーが大量に存在する可能性がありますが、この時点であらゆる非線形オペレーターは取引需要を満たすことができ、重要なのはできるだけ多くの取引を完了させることです。

以上の分析に基づいて、取引オペレーターの非線形化は特に価値のある方向ではない。チェーン上で分散化された価値を蓄積するプロトコル群の中で、非線形取引オペレーターは私たちが追求すべき非線形オペレーターではないかもしれない。

注目すべきは、利率算子が特別な取引算子として、純粋な二次市場の売買取引とはわずかに異なる点です。この違いは、利率アービトラージの難しさに起因しており、アービトラージを実現するための十分な期間構造取引市場が存在しないためです。現在、ブロックチェーン上の利率市場はまだ非常に薄く、取引が有効に行われる段階には達していません。良い利率オラクルが不足している状況では、非線形算子を使用して利率を価格設定することには一定の価値がありますが、これはむしろ一時的な措置であり、本質的な革新ではありません。

非線形取引オペレーターも改善することができ、たとえば再帰情報を導入することができます。つまり、過去の取引情報から価値のある要素をキャッチすることで、アービトラージリスクを低減します。この分野では現在市場研究が少ないですが、再帰オペレーターと非線形取引オペレーターの組み合わせに基づいて、現在のDEXの無常損失などの問題を軽減できることに気づいている人がいます。

未来の課題は、各オペレーターの背後にある核心的リスクを深く分析し、取引目標を明確にモデル化することです。これは、すべての金融サービスをオペレーター理論の下に統一し、製品設計の有効性と完全性を高め、オンチェーンの金融世界の発展を促進するために、より多くの効果的な数学方程式を得る必要があります。